Integrales inmediatas

1. Queremos calcular:
   $$\int \left(3x^2+2x-5\right)dx$$
2. Integral de una suma: integramos cada término por separado.
   $$\int \left(3x^2+2x-5\right)dx=\int 3x^{2}dx+\int 2xdx+\int -5dx$$
   ¿Por qué? Integrar es lo contrario de derivar. Como la derivada de una suma es la suma de derivadas, la integral de una suma también se hace término a término.
3. Factor constante: sacamos $3$ fuera de la integral.
   $$\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
4. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}$$
5. Factor constante: sacamos $2$ fuera de la integral.
   $$\int 2xdx=2\int xdx$$
6. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int xdx=\frac{x^2}{2}$$
7. Integral de una constante: $\int cdx=cx$.
   $$\int -5dx=-5x$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
8. Juntamos los resultados:
   $$\int \left(3x^2+2x-5\right)dx=x^3+x^2-5x$$
9. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \left(3x^2+2x-5\right)dx=x^3+x^2-5x+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Cambio de variable: llamamos $u=\frac{1}{x}$, porque su derivada aparece en el integrando.
   $$u=\frac{1}{x}\Rightarrow du=-\frac{1}{x^2}dx$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
2. Despejamos $dx$ y sustituimos: la integral queda solo en función de $u$.
   $$\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=\int \frac{-u-e^{\frac{1}{u}}}{u^2}du$$
3. Integramos respecto de $u$:
   $$\int \frac{-u-e^{\frac{1}{u}}}{u^2}du=e^{\frac{1}{u}}-\ln \left(u\right)+C$$
4. Deshacemos el cambio ($u=\frac{1}{x}$):
   $$\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x-\ln \left(\frac{1}{x}\right)+C$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Integración término a término.

1. Queremos calcular:
   $$\int \sqrt{x}dx$$
2. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int \sqrt{x}dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$
3. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \sqrt{x}dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \cos \left(3x\right)dx$$
2. Cambio de variable (sustitución): sea $u=3x$, entonces $du=3dx$.
   $$\int \cos \left(3x\right)dx=\int \frac{\cos \left(u\right)}{3}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
3. Factor constante: sacamos $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{\cos \left(u\right)}{3}du=\frac{1}{3}\int \cos \left(u\right)du$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
4. Integral del coseno: $\int \cos xdx=\sin x$.
   $$\int \cos \left(u\right)du=\sin \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
5. Deshacemos el cambio $u=3x$:
   $$\int \cos \left(3x\right)dx=\frac{\sin \left(3x\right)}{3}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
6. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \cos \left(3x\right)dx=\frac{\sin \left(3x\right)}{3}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int 2x\cos \left(x^2\right)dx$$
2. Factor constante: sacamos $2$ fuera de la integral.
   $$\int 2x\cos \left(x^2\right)dx=2\int x\cos \left(x^2\right)dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
3. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x^2$, entonces $du=2xdx$.
   $$\int x\cos \left(x^2\right)dx=\int \frac{\cos \left(u\right)}{2}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
4. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{\cos \left(u\right)}{2}du=\frac{1}{2}\int \cos \left(u\right)du$$
5. Integral del coseno: $\int \cos xdx=\sin x$.
   $$\int \cos \left(u\right)du=\sin \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Deshacemos el cambio $u=x^2$:
   $$\int x\cos \left(x^2\right)dx=\frac{\sin \left(x^2\right)}{2}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int 2x\cos \left(x^2\right)dx=\sin \left(x^2\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{1}{x^2+1}dx$$
2. Integral tipo arcotangente: $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$.
   $$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{atan}\left(x\right)$$
3. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{atan}\left(x\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.