Fórmulas de matemáticas

Las fórmulas más importantes de cada tema, de la ESO a la universidad. Pulsa en un tema para ver ejercicios resueltos.

Números y álgebra

Operaciones combinadas con fracciones, potencias y raíces

Suma de fracciones

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

División de fracciones

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Producto de potencias

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Raíz de un producto

a \cdot b = a b

Simplificar expresiones algebraicas y fracciones algebraicas

Cuadrado de una suma

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Cuadrado de una diferencia

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Suma por diferencia

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Porcentajes: cómo calcularlos, aumentos, descuentos e interés

Porcentaje de una cantidad

p % de C = C \cdot \frac{p}{100}

Aumento del p %

C_{f} = C \cdot (1 + \frac{p}{100})

Descuento del p %

C_{f} = C \cdot (1 - \frac{p}{100})

Interés compuesto

C_{f} = C \cdot (1 + \frac{r}{100})^{t}

Ecuaciones y sistemas

Ecuaciones de primer grado

Forma general

a x + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{a}

Ecuaciones de segundo grado

Fórmula general

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Discriminante

Δ = b^{2} - 4 a c

Suma y producto de las raíces

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Ecuaciones bicuadradas y de grado superior (Ruffini)

Cambio de variable

t = x^{2} \Rightarrow a t^{2} + b t + c = 0, x = \pm t

Teorema del resto

P (a) = 0 ⟺ (x - a) divide a P (x)

Ecuaciones irracionales (con raíces)

Elevar al cuadrado

A = B \Rightarrow A = B^{2} (B \geq 0)

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Definición de logaritmo

lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x

Logaritmo de un producto

lo g (A \cdot B) = lo g A + lo g B

Logaritmo de una potencia

lo g A^{n} = n lo g A

Ecuaciones trigonométricas

Seno

sin x = sin α ⟺ x = α + 2 πn o x = π - α + 2 πn

Coseno

cos x = cos α ⟺ x = \pm α + 2 πn

Tangente

tan x = tan α ⟺ x = α + πn

Inecuaciones de primer y segundo grado

Cambio de signo

- x > 3 ⟺ x < - 3

Sistemas de ecuaciones (2×2, 3×3 y no lineales)

Regla de Cramer (2×2)

x = \frac{c _{1} c _{2} b _{1} b _{2}}{a _{1} a _{2} b _{1} b _{2}}, y = \frac{a _{1} a _{2} c _{1} c _{2}}{a _{1} a _{2} b _{1} b _{2}}

Funciones y cálculo

Límites de funciones e indeterminaciones

L'Hôpital

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

Límite notable

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

El número e

x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e

Derivadas: reglas y ejercicios resueltos

Potencia

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

Producto

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Cociente

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

Cadena

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Integrales inmediatas

Potencia

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

Logaritmo

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Exponencial

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Trigonométricas

\int cos x d x = sin x + C, \int sin x d x = - cos x + C

Integrales por partes

Por partes

\int u d v = u v - \int v d u

Integrales por cambio de variable (sustitución)

Sustitución

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (t) d t, t = g (x)

Integrales racionales (fracciones simples)

Raíces simples

\frac{P ( x )}{( x - a ) ( x - b )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}

Logaritmo

\int \frac{A}{x - a} d x = A ln ∣ x - a ∣ + C

Integrales definidas y áreas (regla de Barrow)

Regla de Barrow

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Polinomios de Taylor y Maclaurin

Polinomio de Taylor

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Factor integrante

μ (x) = e^{\int p (x) d x}

Ecuación característica

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0 \Rightarrow a r^{2} + b r + c = 0

Matrices

Matrices y determinantes

Determinante 2×2

a c b d = a d - b c

Matriz inversa

A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} Adj (A)^{T}

Geometría y trigonometría

Resolver triángulos: teorema del seno y del coseno

Teorema del seno

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

Teorema del coseno

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Teorema de Pitágoras, áreas y volúmenes

Pitágoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Círculo

A = π r^{2}, L = 2 π r

Cilindro

V = π r^{2} h

Esfera

V = \frac{4}{3} π r^{3}, A = 4 π r^{2}

Estadística y probabilidad

Estadística: media, mediana, moda y desviación típica

Media

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x _{i}}{n}

Varianza

σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Desviación típica

σ = σ^{2}

Combinatoria y probabilidad

Combinaciones

C_{n, k} = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Variaciones

V_{n, k} = \frac{n !}{( n - k )!}

Permutaciones

P_{n} = n!

Regla de Laplace

P (A) = \frac{casos favorables}{casos posibles}