Integrales por cambio de variable (sustitución)

1. Queremos calcular:
   $$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$$
2. Factor constante: sacamos $2$ fuera de la integral.
   $$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=2\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
3. Cambio de variable (sustitución): sea $u=x^2+1$, entonces $du=2xdx$.
   $$\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=\int \frac{u^3}{2}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
4. Factor constante: sacamos $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.
   $$\int \frac{u^3}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{3}du$$
5. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}$$
6. Deshacemos el cambio $u=x^2+1$:
   $$\int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=\frac{{\left(x^2+1\right)}^4}{8}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=\frac{{\left(x^2+1\right)}^4}{4}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

En Lyz Math también puedes verlo con: Reescritura del integrando.

1. Queremos calcular:
   $$\int \sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx$$
2. Cambio de variable (sustitución): sea $u=\sin \left(x\right)$, entonces $du=\cos \left(x\right)dx$.
   $$\int \sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx=\int udu$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
3. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int udu=\frac{u^2}{2}$$
4. Deshacemos el cambio $u=\sin \left(x\right)$:
   $$\int \sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx=\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{2}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
5. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \sin \left(x\right)\cos \left(x\right)dx=-\frac{{\cos }^2\left(x\right)}{2}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx$$
2. Cambio de variable (sustitución): sea $u=e^x+1$, entonces $du=e^{x}dx$.
   $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=\int \frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
3. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
4. Deshacemos el cambio $u=e^x+1$:
   $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=\ln \left(e^x+1\right)$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
5. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=\ln \left(e^x+1\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

1. Queremos calcular:
   $$\int \frac{\ln \left(x\right)}{x}dx$$
2. Cambio de variable (sustitución): sea $u=\ln \left(x\right)$, entonces $du=\frac{1}{x}dx$.
   $$\int \frac{\ln \left(x\right)}{x}dx=\int udu$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
3. Regla de la potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (con $n\ne -1$).
   $$\int udu=\frac{u^2}{2}$$
4. Deshacemos el cambio $u=\ln \left(x\right)$:
   $$\int \frac{\ln \left(x\right)}{x}dx=\frac{\ln {\left(x\right)}^2}{2}$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
5. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \frac{\ln \left(x\right)}{x}dx=\frac{\ln {\left(x\right)}^2}{2}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

En Lyz Math también puedes verlo con: Integración por partes.

1. Queremos calcular:
   $$\int x\sqrt{x^2+4}dx$$
2. Reescribimos el integrando de una forma más fácil de integrar:
   $$x\sqrt{x^2+4}=\frac{x^3+4x}{\sqrt{x^2+4}}$$
3. Integral con raíz de un polinomio de grado 2 en el denominador (fórmula conocida):
   $$\int \frac{x^3+4x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\left(\frac{x^2}{3}+\frac{4}{3}\right)\sqrt{x^2+4}$$
4. Simplificamos:
   $$\left(\frac{x^2}{3}+\frac{4}{3}\right)\sqrt{x^2+4}=\frac{{\left(x^2+4\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}$$
   ¿Por qué? Simplificar no cambia el valor: se escribe lo mismo de forma más corta (agrupando términos, cancelando factores…), para que sea más fácil leerlo y seguir operando.
5. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int x\sqrt{x^2+4}dx=\frac{{\left(x^2+4\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.

En Lyz Math también puedes verlo con: Cambio de variable.

1. Queremos calcular:
   $$\int \tan \left(x\right)dx$$
2. Reescribimos el integrando de una forma más fácil de integrar:
   $$\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$$
3. Cambio de variable (sustitución): sea $u=\cos \left(x\right)$, entonces $du=-\sin \left(x\right)dx$.
   $$\int \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx=\int -\frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Es la regla de la cadena al revés: si dentro del integrando aparece una función y también su derivada, llamándola $u$ la integral se vuelve mucho más sencilla.
4. Factor constante: sacamos $-1$ fuera de la integral.
   $$\int -\frac{1}{u}du=\left(-1\right)\int \frac{1}{u}du$$
   ¿Por qué? Un número que multiplica no cambia la forma de la función, solo la escala; se saca fuera y se multiplica al final.
5. **Integral de $\frac{1}{x}$:** $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|$.
   $$\int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right)$$
   ¿Por qué? Las integrales inmediatas son las derivadas conocidas leídas al revés: si $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, entonces $\int \cos xdx=\sin x+C$.
6. Deshacemos el cambio $u=\cos \left(x\right)$:
   $$\int \frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}dx=-\ln \left(\cos \left(x\right)\right)$$
   ¿Por qué? Si todos los exponentes son múltiplos del mismo número (por ejemplo $x^4$ y $x^2$), llamando $u=x^2$ la ecuación se convierte en una de segundo grado, que ya sabemos resolver. Después se deshace el cambio.
7. Sumamos la constante de integración $C$:
   $$\int \tan \left(x\right)dx=-\ln \left(\cos \left(x\right)\right)+C$$
   ¿Por qué? Al derivar, las constantes desaparecen. Por eso, al integrar, no sabemos qué constante había: se escribe $+C$ para indicar que vale cualquiera.