Ecuaciones de segundo grado

1. Ecuación a resolver:
   $$x^2-5x+6=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=-5$ y $c=6$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3,x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=3\Rightarrow 0=0✓\\ x=2\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$2x^2+3x-2=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=2$, $b=3$ y $c=-2$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot \left(-2\right)=25$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{4}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{4}=\frac{1}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{25}}{4}=-2$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=\frac{1}{2}\Rightarrow 0=0✓\\ x=-2\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$x^2-9=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=0$ y $c=-9$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot \left(-9\right)=36$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{0\pm \sqrt{36}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{0+\sqrt{36}}{2}=3,x_2=\frac{0-\sqrt{36}}{2}=-3$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=3\Rightarrow 0=0✓\\ x=-3\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$3x^2-12x=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=3$, $b=-12$ y $c=0$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 3\cdot 0=144$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{12\pm \sqrt{144}}{6}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{12+\sqrt{144}}{6}=4,x_2=\frac{12-\sqrt{144}}{6}=0$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=4\Rightarrow 0=0✓\\ x=0\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$x^2+4x+4=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=4$ y $c=4$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 4=0$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta =0$, hay una solución doble.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Solución doble:
   $$x=-2$$
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=-2\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$4x^2-4x+1=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=4$, $b=-4$ y $c=1$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 4\cdot 1=0$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta =0$, hay una solución doble.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{0}}{8}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Solución doble:
   $$x=\frac{1}{2}$$
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=\frac{1}{2}\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=5$$
2. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
   $$x^2+2x-8=0$$
   ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar ($a{x}^2+bx+c=0$) o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
3. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=2$ y $c=-8$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
4. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-8\right)=36$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
5. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
6. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2\pm \sqrt{36}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
7. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{-2+\sqrt{36}}{2}=2,x_2=\frac{-2-\sqrt{36}}{2}=-4$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
8. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=2\Rightarrow 5=5✓\\ x=-4\Rightarrow 5=5✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Factorización, Completar el cuadrado.

1. Ecuación a resolver:
   $$x^2+x+1=0$$
2. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=1$ y $c=1$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
3. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
4. Como $\Delta <0$, no hay soluciones reales: hay dos soluciones complejas conjugadas.
5. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
6. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow 0=0✓\\ x=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}i}{2}\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Completar el cuadrado.