Sistemas de ecuaciones (2×2, 3×3 y no lineales)

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-y=1\end{array}$$
2. Es un sistema lineal. Lo escribimos como matriz aumentada $[A\mid b]$ (columnas: $x,y$ y términos independientes):
   $$\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un sistema lineal queda totalmente descrito por sus números. Escribirlos en una matriz permite operar sin repetir las letras en cada paso.
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. Convertimos el pivote en 1: $F_1\to \frac{1}{2}{F}_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
5. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-F_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ 0& -\frac{3}{2}& -\frac{3}{2}\end{array}\right]$$
6. Convertimos el pivote en 1: $F_2\to \left(-\frac{2}{3}\right)F_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{5}{2}\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$
7. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1-\frac{1}{2}{F}_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$
8. La matriz quedó en forma escalonada reducida: cada fila da el valor de una incógnita.
   $$x=2,y=1$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Sustitución, Igualación, Reducción, Regla de Cramer, Matriz inversa.

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ x+4y=6\end{array}$$
2. Es un sistema lineal. Lo escribimos como matriz aumentada $[A\mid b]$ (columnas: $x,y$ y términos independientes):
   $$\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 4\\ 1& 4& 6\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un sistema lineal queda totalmente descrito por sus números. Escribirlos en una matriz permite operar sin repetir las letras en cada paso.
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. Convertimos el pivote en 1: $F_1\to \frac{1}{3}{F}_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{2}{3}& \frac{4}{3}\\ 1& 4& 6\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
5. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-F_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{2}{3}& \frac{4}{3}\\ 0& \frac{14}{3}& \frac{14}{3}\end{array}\right]$$
6. Convertimos el pivote en 1: $F_2\to \frac{3}{14}{F}_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{2}{3}& \frac{4}{3}\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$
7. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1+\frac{2}{3}{F}_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$$
8. La matriz quedó en forma escalonada reducida: cada fila da el valor de una incógnita.
   $$x=2,y=1$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Sustitución, Igualación, Reducción, Regla de Cramer, Matriz inversa.

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2\\ x-y=-1\end{array}$$
2. Es un sistema lineal. Lo escribimos como matriz aumentada $[A\mid b]$ (columnas: $x,y$ y términos independientes):
   $$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{3}& 2\\ 1& -1& -1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un sistema lineal queda totalmente descrito por sus números. Escribirlos en una matriz permite operar sin repetir las letras en cada paso.
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. Convertimos el pivote en 1: $F_1\to 2F_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{2}{3}& 4\\ 1& -1& -1\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
5. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-F_1$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{2}{3}& 4\\ 0& -\frac{5}{3}& -5\end{array}\right]$$
6. Convertimos el pivote en 1: $F_2\to \left(-\frac{3}{5}\right)F_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{2}{3}& 4\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$$
7. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1-\frac{2}{3}{F}_2$
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$$
8. La matriz quedó en forma escalonada reducida: cada fila da el valor de una incógnita.
   $$x=2,y=3$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Sustitución, Igualación, Reducción, Regla de Cramer, Matriz inversa.

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$$
2. Es un sistema lineal. Lo escribimos como matriz aumentada $[A\mid b]$ (columnas: $x,y,z$ y términos independientes):
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un sistema lineal queda totalmente descrito por sus números. Escribirlos en una matriz permite operar sin repetir las letras en cada paso.
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-F_1$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -3& -1& -9\\ 0& 1& -2& -4\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
5. Convertimos el pivote en 1: $F_2\to \left(-\frac{1}{3}\right)F_2$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& \frac{1}{3}& 3\\ 0& 1& -2& -4\end{array}\right]$$
6. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1-F_2$, $F_3\to F_3-F_2$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{2}{3}& 3\\ 0& 1& \frac{1}{3}& 3\\ 0& 0& -\frac{7}{3}& -7\end{array}\right]$$
7. Convertimos el pivote en 1: $F_3\to \left(-\frac{3}{7}\right)F_3$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{2}{3}& 3\\ 0& 1& \frac{1}{3}& 3\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$$
8. Hacemos ceros en la columna 3: $F_1\to F_1-\frac{2}{3}{F}_3$, $F_2\to F_2-\frac{1}{3}{F}_3$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3\end{array}\right]$$
9. La matriz quedó en forma escalonada reducida: cada fila da el valor de una incógnita.
   $$x=1,y=2,z=3$$

En Lyz Math también puedes verlo con: Sustitución, Regla de Cramer, Matriz inversa.

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x+y+z=7\\ x-y+2z=6\end{array}$$
2. Es un sistema lineal. Lo escribimos como matriz aumentada $[A\mid b]$ (columnas: $x,y,z$ y términos independientes):
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 2& 1& 1& 7\\ 1& -1& 2& 6\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Un sistema lineal queda totalmente descrito por sus números. Escribirlos en una matriz permite operar sin repetir las letras en cada paso.
3. Eliminación de Gauss-Jordan
4. Hacemos ceros en la columna 1: $F_2\to F_2-2F_1$, $F_3\to F_3-F_1$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -3& 3& 5\\ 0& -3& 3& 5\end{array}\right]$$
   ¿Por qué? Intercambiar ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra no cambia las soluciones del sistema. Con eso se van haciendo ceros hasta que cada fila da el valor de una incógnita.
5. Convertimos el pivote en 1: $F_2\to \left(-\frac{1}{3}\right)F_2$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& 1& -1& -\frac{5}{3}\\ 0& -3& 3& 5\end{array}\right]$$
6. Hacemos ceros en la columna 2: $F_1\to F_1-2F_2$, $F_3\to F_3+3F_2$
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \frac{13}{3}\\ 0& 1& -1& -\frac{5}{3}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
7. Hay 1 variable(s) libre(s), $z$: el sistema tiene infinitas soluciones.
   ¿Por qué? Si hay menos ecuaciones útiles que incógnitas, alguna incógnita puede tomar cualquier valor (es libre) y las demás dependen de ella: hay infinitas soluciones.
8. Despejamos las variables principales en función de las libres:
   $$x=\frac{13}{3}-z,y=z-\frac{5}{3},z=z$$

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x+y=7\end{array}$$
2. Es un sistema no lineal. Lo resolvemos por sustitución.
   ¿Por qué? Si despejamos una incógnita en una ecuación y la llevamos a la otra, esa otra queda con una sola incógnita, que ya sabemos resolver.
3. De la ecuación 2 despejamos $x$:
   $$x=7-y$$
4. Sustituimos en la ecuación 1, que queda solo con $y$:
   $$y^2+{\left(y-7\right)}^2=25$$
5. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
   $$2y^2-14y+24=0$$
   ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar ($a{x}^2+bx+c=0$) o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
6. Es una ecuación cuadrática $a{y}^2+by+c=0$, con $a=2$, $b=-14$ y $c=24$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
7. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-14\right)}^2-4\cdot 2\cdot 24=4$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
8. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
9. Aplicamos la fórmula general:
   $$y=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{14\pm \sqrt{4}}{4}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
10. Separamos los dos signos:
    $$y_1=\frac{14+\sqrt{4}}{4}=4,y_2=\frac{14-\sqrt{4}}{4}=3$$
    ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
11. Sustituimos cada valor de $y$ en el despeje de $x$:
    $$\begin{array}{rl}y=4& \Rightarrow x=3\\ y=3& \Rightarrow x=4\end{array}$$

1. Sistema a resolver:
   $$\{\begin{array}{l}xy=6\\ x+y=5\end{array}$$
2. Es un sistema no lineal. Lo resolvemos por sustitución.
   ¿Por qué? Si despejamos una incógnita en una ecuación y la llevamos a la otra, esa otra queda con una sola incógnita, que ya sabemos resolver.
3. De la ecuación 1 despejamos $x$:
   $$x=\frac{6}{y}$$
4. Sustituimos en la ecuación 2, que queda solo con $y$:
   $$y+\frac{6}{y}=5$$
5. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
   $$y-5+\frac{6}{y}=0$$
   ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar ($a{x}^2+bx+c=0$) o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
6. Multiplicamos por el denominador $y$, que debe ser distinto de cero:
   $$y^2-5y+6=0$$
   ¿Por qué? Multiplicar los dos lados por el denominador elimina la fracción y la igualdad se mantiene. Pero solo vale si el denominador no es cero (no se puede dividir entre 0), por eso al final se descartan los valores que lo anulan.
7. Es una ecuación cuadrática $a{y}^2+by+c=0$, con $a=1$, $b=-5$ y $c=6$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
8. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=1$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
9. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
10. Aplicamos la fórmula general:
    $$y=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}$$
    ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
11. Separamos los dos signos:
    $$y_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3,y_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2$$
    ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
12. Sustituimos cada valor de $y$ en el despeje de $x$:
    $$\begin{array}{rl}y=3& \Rightarrow x=2\\ y=2& \Rightarrow x=3\end{array}$$