Resolver triángulos: teorema del seno y del coseno

Resuelve cualquier triángulo con el teorema del seno y del coseno: ejercicios resueltos paso a paso con todos los lados y ángulos.

Resolver un triángulo es calcular sus tres lados y sus tres ángulos a partir de tres datos (al menos uno de ellos, un lado). Las herramientas son:

La suma de los ángulos: siempre 180°.
El teorema del seno, cuando conoces un lado y su ángulo opuesto.
El teorema del coseno, cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados.

Fórmulas

Teorema del seno

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

Teorema del coseno

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

Resuelve el triángulo de lados 3, 4 y 5.

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

a = 3, b = 4, c = 5, A = 36.869 9^{\circ}, B = 53.130 1^{\circ}, C = 9 0^{\circ}

Datos: el lado $a$ está enfrente del ángulo $A$ , el $b$ enfrente de $B$ y el $c$ enfrente de $C$ .
$a = 3, b = 4, c = 5$
Conocemos los tres lados: usamos el teorema del coseno para cada ángulo.
Ángulo $A$ :
$cos A = \frac{4 ^{2} + 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{4}{5} \Rightarrow A = 36.869 9^{\circ}$
Ángulo $B$ :
$cos B = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{3}{5} \Rightarrow B = 53.130 1^{\circ}$
El tercer ángulo, porque suman $18 0^{\circ}$ :
$C = 18 0^{\circ} - A - B = 9 0^{\circ}$
Área: la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman.
$S = \frac{a \cdot b \cdot sin C}{2} = 6, per \overset{ı}{ˊ} metro = 12$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 2

Resuelve el triángulo con a = 7, B = 45° y C = 60°.

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

a = 7, b = - 7 + 73 \approx 5.124355653, c = \frac{7 3}{2 ( \frac{2}{4} + \frac{6}{4} )} \approx 6.276028305, A = 7 5^{\circ}, B = 4 5^{\circ}, C = 6 0^{\circ}

Datos: el lado $a$ está enfrente del ángulo $A$ , el $b$ enfrente de $B$ y el $c$ enfrente de $C$ .
$a = 7, B = 4 5^{\circ}, C = 6 0^{\circ}$
Conocemos dos ángulos y un lado.
Los ángulos de un triángulo suman $18 0^{\circ}$ :
$A = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 7 5^{\circ}$
Teorema del seno: $b$ es a $sin B$ como $a$ es a $sin A$ .
$b = \frac{a \cdot sin B}{sin A} = \frac{7 \cdot sin 4 5 ^{\circ}}{sin 7 5 ^{\circ}} = - 7 + 73 \approx 5.124355653$
Teorema del seno: $c$ es a $sin C$ como $a$ es a $sin A$ .
$c = \frac{a \cdot sin C}{sin A} = \frac{7 \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{sin 7 5 ^{\circ}} = \frac{7 3}{2 ( \frac{2}{4} + \frac{6}{4} )} \approx 6.276028305$
Área: la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman.
$S = \frac{a \cdot b \cdot sin C}{2} = \frac{147}{4} - \frac{49 3}{4} \approx 15.53237761, per \overset{ı}{ˊ} metro = \frac{7 3}{2 ( \frac{2}{4} + \frac{6}{4} )} + 73 \approx 18.40038396$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 3

Resuelve el triángulo con a = 5, b = 7 y C = 60°.

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

a = 5, b = 7, c = 39 \approx 6.244997998, A = 43.897 9^{\circ}, B = 76.102 1^{\circ}, C = 6 0^{\circ}

Datos: el lado $a$ está enfrente del ángulo $A$ , el $b$ enfrente de $B$ y el $c$ enfrente de $C$ .
$a = 5, b = 7, C = 6 0^{\circ}$
Conocemos dos lados y el ángulo que forman: teorema del coseno para el tercer lado.
$c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos 6 0^{\circ} \Rightarrow c = 39 \approx 6.244997998$
Ángulo $A$ con el teorema del coseno (así no hay dudas entre dos ángulos posibles):
$A = 43.897 9^{\circ}$
Los ángulos de un triángulo suman $18 0^{\circ}$ :
$B = 18 0^{\circ} - 43.897 9^{\circ} - 6 0^{\circ} = 76.102 1^{\circ}$
Área: la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman.
$S = \frac{a \cdot b \cdot sin C}{2} = \frac{35 3}{4} \approx 15.15544457, per \overset{ı}{ˊ} metro = 39 + 12 \approx 18.244998$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 4

Resuelve el triángulo con a = 6, b = 8 y A = 30°.

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

a = 6, b = 8, c = 1615 + 68 \approx 11.40033919, A = 3 0^{\circ}, B = 41.810 3^{\circ}, C = 108.1 9^{\circ} a = 6, b = 8, c = 68 - 1615 \approx 2.456067275, A = 3 0^{\circ}, B = 138.1 9^{\circ}, C = 11.810 3^{\circ}

Datos: el lado $a$ está enfrente del ángulo $A$ , el $b$ enfrente de $B$ y el $c$ enfrente de $C$ .
$a = 6, b = 8, A = 3 0^{\circ}$
Conocemos dos lados y un ángulo que no está entre ellos: teorema del seno para $B$ .
$sin B = \frac{b \cdot sin A}{a} = \frac{8 \cdot sin 3 0 ^{\circ}}{6} = \frac{2}{3}$
Hay dos ángulos con ese seno ( $41.810 3^{\circ}$ y $138.1 9^{\circ}$ ) y los dos caben en un triángulo: hay dos soluciones (caso ambiguo).
Solución con $B = 41.810 3^{\circ}$
Los ángulos de un triángulo suman $18 0^{\circ}$ :
$C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 41.810 3^{\circ} = 108.1 9^{\circ}$
Teorema del seno: $c$ es a $sin C$ como $a$ es a $sin A$ .
$c = \frac{a \cdot sin C}{sin A} = \frac{6 \cdot sin 108.1 9 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 1615 + 68 \approx 11.40033919$
Solución con $B = 138.1 9^{\circ}$
Los ángulos de un triángulo suman $18 0^{\circ}$ :
$C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 138.1 9^{\circ} = 11.810 3^{\circ}$
Teorema del seno: $c$ es a $sin C$ como $a$ es a $sin A$ .
$c = \frac{a \cdot sin C}{sin A} = \frac{6 \cdot sin 11.810 3 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 68 - 1615 \approx 2.456067275$
Área: la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman.
$S = \frac{a \cdot b \cdot sin C}{2} = 45 + 83 \approx 22.80067837, per \overset{ı}{ˊ} metro = 1615 + 68 + 14 \approx 25.40033919$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.
Área: la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman.
$S = \frac{a \cdot b \cdot sin C}{2} = - 45 + 83 \approx 4.912134551, per \overset{ı}{ˊ} metro = 68 - 1615 + 14 \approx 16.45606728$

Más temas de geometría y trigonometría

a²

Teorema de Pitágoras, áreas y volúmenes

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras y de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos, con todas las fórmulas.

6 ejercicios resueltos · ESO