Teorema de Pitágoras, áreas y volúmenes

Ejercicios resueltos del teorema de Pitágoras y de áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos, con todas las fórmulas.

En un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos con la hipotenusa (el lado más largo). Sirve para calcular cualquier lado conociendo los otros dos.

Para las áreas y los volúmenes basta con aplicar la fórmula de cada figura, con todas las medidas en la misma unidad.

Fórmulas

Pitágoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Círculo

A = π r^{2}, L = 2 π r

Cilindro

V = π r^{2} h

Esfera

V = \frac{4}{3} π r^{3}, A = 4 π r^{2}

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4.

Ver la solución paso a paso

Resultado ✓ Verificado

a b c A P = 3 = 4 = 5 = 6 = 12

Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
¿Por qué? Si construyes un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo, el área del cuadrado grande (hipotenusa) es igual a la suma de las de los otros dos.
Calculamos la hipotenusa:
$c = a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5$
Perímetro: la suma de los tres lados.
$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$
Área: los catetos son base y altura.
$A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 2

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5 y 12.

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Resultado ✓ Verificado

a b c A P = 5 = 12 = 13 = 30 = 30

Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos.
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
¿Por qué? Si construyes un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo, el área del cuadrado grande (hipotenusa) es igual a la suma de las de los otros dos.
Calculamos la hipotenusa:
$c = a^{2} + b^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$
Perímetro: la suma de los tres lados.
$P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30$
Área: los catetos son base y altura.
$A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 3

Área y perímetro de un círculo de radio 5.

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Resultado ✓ Verificado

A L = 25 π \approx 78.53981634 = 10 π \approx 31.41592654

Área del círculo:
$A = π r^{2} = π \cdot 5^{2} = 25 π \approx 78.53981634$
¿Por qué? $π \approx 3, 14$ es cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia, en cualquier círculo. Por eso la longitud es $2 π r$ y el área $π r^{2}$ .
Longitud de la circunferencia:
$L = 2 π r = 2 π \cdot 5 = 10 π \approx 31.41592654$

Ejercicio 4

Área de un trapecio de bases 8 y 5 y altura 4.

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Resultado ✓ Verificado

A = 26

Área del trapecio: la media de las bases por la altura.
$A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 8 + 5 ) \cdot 4}{2} = 26$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.

Ejercicio 5

Volumen y área de un cilindro de radio 3 y altura 10.

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Resultado ✓ Verificado

A V A_{L} = 78 π \approx 245.044227 = 90 π \approx 282.7433388 = 60 π \approx 188.4955592

Volumen: área de la base por la altura.
$V = π r^{2} h = π \cdot 3^{2} \cdot 10 = 90 π \approx 282.7433388$
¿Por qué? El volumen cuenta cuántos cubos de lado 1 caben dentro. En un prisma o cilindro es el área de la base por la altura; un cono o una pirámide ocupan justo un tercio de eso.
Área lateral: el rectángulo que envuelve el cilindro.
$A_{L} = 2 π r h = 2 π \cdot 3 \cdot 10 = 60 π \approx 188.4955592$
¿Por qué? El área cuenta cuántos cuadrados de lado 1 caben dentro. Un rectángulo de 3 por 4 tiene 3 filas de 4 cuadrados; un triángulo es la mitad de un rectángulo.
Área total: la lateral más las dos bases.
$A = 2 π r h + 2 π r^{2} = 60 π + 2 π \cdot 3^{2} = 78 π \approx 245.044227$

Ejercicio 6

Volumen y área de una esfera de radio 6.

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Resultado ✓ Verificado

A V = 144 π \approx 452.3893421 = 288 π \approx 904.7786842

Volumen de la esfera:
$V = \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 6^{3} = 288 π \approx 904.7786842$
¿Por qué? $π \approx 3, 14$ es cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia, en cualquier círculo. Por eso la longitud es $2 π r$ y el área $π r^{2}$ .
Área de la esfera: cuatro círculos máximos.
$A = 4 π r^{2} = 4 π \cdot 6^{2} = 144 π \approx 452.3893421$

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