Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Ecuación a resolver:
   $$2^x=32$$
2. Aplicamos logaritmo en base $2$ en ambos lados:
   $$x=5$$
   ¿Por qué? El logaritmo es la operación inversa de la potencia: $\ln (e^u)=u$ y $\log (a^u)=u\log a$. Aplicarlo a los dos lados baja la incógnita del exponente.
3. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=5\Rightarrow 32=32✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$4^{x+1}=8$$
2. Aplicamos logaritmo en base $4$ en ambos lados:
   $$x+1=\frac{3}{2}$$
   ¿Por qué? El logaritmo es la operación inversa de la potencia: $\ln (e^u)=u$ y $\log (a^u)=u\log a$. Aplicarlo a los dos lados baja la incógnita del exponente.
3. Restamos $1$ en ambos lados:
   $$x=\frac{1}{2}$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
4. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=\frac{1}{2}\Rightarrow 8=8✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$3e^{2x}-1=5$$
2. Sumamos $1$ en ambos lados:
   $$3e^{2x}=6$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
3. Dividimos ambos lados entre $3$:
   $$e^{2x}=2$$
   ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
4. Aplicamos logaritmo natural en ambos lados:
   $$2x=\ln \left(2\right)$$
   ¿Por qué? El logaritmo es la operación inversa de la potencia: $\ln (e^u)=u$ y $\log (a^u)=u\log a$. Aplicarlo a los dos lados baja la incógnita del exponente.
5. Dividimos ambos lados entre $2$:
   $$x=\frac{\ln \left(2\right)}{2}$$
6. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=\frac{\ln \left(2\right)}{2}\Rightarrow 5=5✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$5^x=7$$
2. Aplicamos logaritmo en base $5$ en ambos lados:
   $$x=\frac{\ln \left(7\right)}{\ln \left(5\right)}$$
   ¿Por qué? El logaritmo es la operación inversa de la potencia: $\ln (e^u)=u$ y $\log (a^u)=u\log a$. Aplicarlo a los dos lados baja la incógnita del exponente.
3. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=\frac{\ln \left(7\right)}{\ln \left(5\right)}\Rightarrow 7=7✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$\ln \left(x\right)=2$$
2. Aplicamos la exponencial $e^{(\cdot )}$ en ambos lados:
   $$x=e^2$$
   ¿Por qué? La exponencial es la operación inversa del logaritmo: $e^{\ln u}=u$. Aplicarla a los dos lados quita el logaritmo.
3. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=e^2\Rightarrow 2=2✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(10\right)}+\frac{\ln \left(x-3\right)}{\ln \left(10\right)}=1$$
2. Esta ecuación no tiene un despeje algebraico directo; la resolvemos con métodos generales.
3. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=5\Rightarrow 1=1✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$
2. Restamos $8$ en ambos lados:
   $$2^{2x}-6\cdot 2^x=-8$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
3. Esta ecuación no tiene un despeje algebraico directo; la resolvemos con métodos generales.
4. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=1\Rightarrow 0=0✓\\ x=2\Rightarrow 0=0✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).