Ecuaciones irracionales (con raíces)

1. Ecuación a resolver:
   $$\sqrt{x+3}=x-3$$
2. Elevamos ambos lados a la potencia 2 para eliminar la raíz:
   $$x+3=x^2-6x+9$$
   ¿Por qué? Elevar los dos lados a la misma potencia quita la raíz, porque $(\sqrt{a}{)}^2=a$. Pero también puede convertir algo falso en cierto (por ejemplo, $-2\ne 2$ pero $(-2{)}^2=2^2$), así que pueden aparecer soluciones falsas y hay que comprobarlas.
3. Multiplicamos por $-1$ para que el coeficiente principal sea positivo:
   $$x^2-7x+6=0$$
   ¿Por qué? Multiplicar los dos lados por $-1$ cambia todos los signos pero no las soluciones. Se hace para que el primer coeficiente sea positivo y las cuentas sean más cómodas.
4. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=-7$ y $c=6$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
5. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
6. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
7. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
8. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{7+\sqrt{25}}{2}=6,x_2=\frac{7-\sqrt{25}}{2}=1$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
9. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprobamos en la ecuación original:
   $$\begin{array}{r}x=6:3=3✓\\ x=1:2\ne -2\text{(se descarta)}\end{array}$$
10. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
    $$\begin{array}{r}x=6\Rightarrow 3=3✓\end{array}$$
    ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$\sqrt{2x+1}=3$$
2. Elevamos ambos lados a la potencia 2:
   $$2x+1=9$$
   ¿Por qué? Elevar los dos lados a la misma potencia quita la raíz, porque $(\sqrt{a}{)}^2=a$. Pero también puede convertir algo falso en cierto (por ejemplo, $-2\ne 2$ pero $(-2{)}^2=2^2$), así que pueden aparecer soluciones falsas y hay que comprobarlas.
3. Restamos $1$ en ambos lados:
   $$2x=8$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
4. Dividimos ambos lados entre $2$:
   $$x=4$$
   ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
5. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprobamos en la ecuación original:
   $$\begin{array}{r}x=4:3=3✓\end{array}$$
6. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=4\Rightarrow 3=3✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$-\sqrt{x}+x=2$$
2. Esta ecuación no tiene un despeje algebraico directo; la resolvemos con métodos generales.
3. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=4\Rightarrow 2=2✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$\sqrt{x+5}+1=x$$
2. Aislamos la raíz en un lado:
   $$\sqrt{x+5}=x-1$$
   ¿Por qué? Antes de elevar al cuadrado se deja la raíz sola en un lado. Si hubiera más términos, al elevar no desaparecería, porque $(a+b{)}^2\ne a^2+b^2$.
3. Elevamos ambos lados a la potencia 2 para eliminar la raíz:
   $$x+5=x^2-2x+1$$
   ¿Por qué? Elevar los dos lados a la misma potencia quita la raíz, porque $(\sqrt{a}{)}^2=a$. Pero también puede convertir algo falso en cierto (por ejemplo, $-2\ne 2$ pero $(-2{)}^2=2^2$), así que pueden aparecer soluciones falsas y hay que comprobarlas.
4. Multiplicamos por $-1$ para que el coeficiente principal sea positivo:
   $$x^2-3x-4=0$$
   ¿Por qué? Multiplicar los dos lados por $-1$ cambia todos los signos pero no las soluciones. Se hace para que el primer coeficiente sea positivo y las cuentas sean más cómodas.
5. Es una ecuación cuadrática $a{x}^2+bx+c=0$, con $a=1$, $b=-3$ y $c=-4$.
   ¿Por qué? Si el mayor exponente de la incógnita es 2, la ecuación es de segundo grado. Escribirla como $a{x}^2+bx+c=0$ permite usar la fórmula general, que funciona siempre.
6. Calculamos el discriminante $\Delta =b^2-4ac$:
   $$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=25$$
   ¿Por qué? El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ es lo que va dentro de la raíz en la fórmula general. Como no hay raíz real de un número negativo, su signo dice cuántas soluciones reales hay: $\Delta >0$ dos, $\Delta =0$ una y $\Delta <0$ ninguna.
7. Como $\Delta >0$, hay dos soluciones reales distintas.
8. Aplicamos la fórmula general:
   $$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{25}}{2}$$
   ¿Por qué? La fórmula $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sale de completar el cuadrado en $a{x}^2+bx+c=0$ de forma general, así que sirve para cualquier ecuación de segundo grado.
9. Separamos los dos signos:
   $$x_1=\frac{3+\sqrt{25}}{2}=4,x_2=\frac{3-\sqrt{25}}{2}=-1$$
   ¿Por qué? El símbolo $\pm$ resume dos cuentas: una sumando la raíz y otra restándola. Cada una da una solución.
10. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprobamos en la ecuación original:
    $$\begin{array}{r}x=4:4=4✓\\ x=-1:3\ne -1\text{(se descarta)}\end{array}$$
11. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
    $$\begin{array}{r}x=4\Rightarrow 4=4✓\end{array}$$
    ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).

1. Ecuación a resolver:
   $$\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+4}$$
2. Elevamos ambos lados a la potencia 2 para eliminar la raíz:
   $$3x-2=x+4$$
   ¿Por qué? Elevar los dos lados a la misma potencia quita la raíz, porque $(\sqrt{a}{)}^2=a$. Pero también puede convertir algo falso en cierto (por ejemplo, $-2\ne 2$ pero $(-2{)}^2=2^2$), así que pueden aparecer soluciones falsas y hay que comprobarlas.
3. Es una ecuación lineal de la forma $ax+b=0$, con $a=2$ y $b=-6$.
   ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como $ax+b=0$ y tiene una única solución, $x=-b/a$ (si $a\ne 0$).
4. Sumamos $6$ en ambos lados:
   $$2x=6$$
   ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
5. Dividimos ambos lados entre $2$:
   $$x=3$$
   ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
6. Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprobamos en la ecuación original:
   $$\begin{array}{r}x=3:\sqrt{7}=\sqrt{7}✓\end{array}$$
7. Comprobación: sustituimos cada solución en la ecuación original.
   $$\begin{array}{r}x=3\Rightarrow \sqrt{7}=\sqrt{7}✓\end{array}$$
   ¿Por qué? Sustituir cada solución en la ecuación original es la mejor forma de detectar errores: si los dos lados dan lo mismo, la solución es correcta.

En Lyz Math también puedes verlo con: Método numérico (Newton).