Ecuaciones trigonométricas

Resuelve ecuaciones con seno, coseno y tangente y escribe todas sus soluciones. Ejercicios resueltos paso a paso.

Una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones, porque el seno, el coseno y la tangente se repiten cada vuelta. Se busca primero el ángulo básico y luego se añaden todas las vueltas: $+ 2 πn$ (o $+ πn$ en la tangente).

Recuerda que el seno vale lo mismo en α y en π − α, y el coseno en α y en −α.

Fórmulas

Seno

sin x = sin α ⟺ x = α + 2 πn o x = π - α + 2 πn

Coseno

cos x = cos α ⟺ x = \pm α + 2 πn

Tangente

tan x = tan α ⟺ x = α + πn

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

Ejercicio 1

2 sin (x) = 1

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Resultado ✓ Verificado

x \in {2 πn + \frac{π}{6} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{5 π}{6} n \in Z}

Ecuación a resolver:
$2 sin (x) = 1$
Es una ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Seno, coseno y tangente se repiten cada vuelta ( $2 π$ , o $π$ la tangente). Si un ángulo es solución, también lo son todos los que se diferencian en vueltas completas. La función inversa da solo uno, el principal; luego se añaden los periodos.
Dividimos ambos lados entre $2$ :
$sin (x) = \frac{1}{2}$
¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
Aplicamos la función inversa para obtener el valor principal:
$x = arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$
Sumando los periodos obtenemos la solución general ( $n \in Z$ ):
${2 πn + \frac{π}{6} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{5 π}{6} n \in Z}$
Soluciones en una vuelta, $[0, 2 π)$ :
${\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}$

Ejercicio 2

cos (x) = 0

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Resultado ✓ Verificado

x \in {2 πn + \frac{π}{2} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{3 π}{2} n \in Z}

Ecuación a resolver:
$cos (x) = 0$
Es una ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Seno, coseno y tangente se repiten cada vuelta ( $2 π$ , o $π$ la tangente). Si un ángulo es solución, también lo son todos los que se diferencian en vueltas completas. La función inversa da solo uno, el principal; luego se añaden los periodos.
Aplicamos la función inversa para obtener el valor principal:
$x = arccos (0) = \frac{π}{2}$
Sumando los periodos obtenemos la solución general ( $n \in Z$ ):
${2 πn + \frac{π}{2} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{3 π}{2} n \in Z}$
Soluciones en una vuelta, $[0, 2 π)$ :
${\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}}$

Ejercicio 3

tan (x) = 1

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Resultado ✓ Verificado

x \in {πn + \frac{π}{4} n \in Z}

Ecuación a resolver:
$tan (x) = 1$
Es una ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Seno, coseno y tangente se repiten cada vuelta ( $2 π$ , o $π$ la tangente). Si un ángulo es solución, también lo son todos los que se diferencian en vueltas completas. La función inversa da solo uno, el principal; luego se añaden los periodos.
Aplicamos la función inversa para obtener el valor principal:
$x = arctan (1) = \frac{π}{4}$
Sumando los periodos obtenemos la solución general ( $n \in Z$ ):
${πn + \frac{π}{4} n \in Z}$
Soluciones en una vuelta, $[0, 2 π)$ :
${\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}}$

Ejercicio 4

2 cos (x) + 1 = 0

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Resultado ✓ Verificado

x \in {2 πn + \frac{2 π}{3} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{4 π}{3} n \in Z}

Ecuación a resolver:
$2 cos (x) + 1 = 0$
Es una ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Seno, coseno y tangente se repiten cada vuelta ( $2 π$ , o $π$ la tangente). Si un ángulo es solución, también lo son todos los que se diferencian en vueltas completas. La función inversa da solo uno, el principal; luego se añaden los periodos.
Restamos $1$ en ambos lados:
$2 cos (x) = - 1$
¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
Dividimos ambos lados entre $2$ :
$cos (x) = - \frac{1}{2}$
¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
Aplicamos la función inversa para obtener el valor principal:
$x = arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$
Sumando los periodos obtenemos la solución general ( $n \in Z$ ):
${2 πn + \frac{2 π}{3} n \in Z} \cup {2 πn + \frac{4 π}{3} n \in Z}$
Soluciones en una vuelta, $[0, 2 π)$ :
${\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}$

Ejercicio 5

sin (2 x) = 0

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Resultado ✓ Verificado

x \in {πn ∣ n \in Z} \cup {πn + \frac{π}{2} n \in Z}

Ecuación a resolver:
$sin (2 x) = 0$
Es una ecuación trigonométrica. Como las funciones trigonométricas son periódicas, tiene infinitas soluciones.
¿Por qué? Seno, coseno y tangente se repiten cada vuelta ( $2 π$ , o $π$ la tangente). Si un ángulo es solución, también lo son todos los que se diferencian en vueltas completas. La función inversa da solo uno, el principal; luego se añaden los periodos.
Aplicamos la función inversa para obtener el valor principal:
$2 x = arcsin (0) = 0$
Sumando los periodos obtenemos la solución general ( $n \in Z$ ):
${πn ∣ n \in Z} \cup {πn + \frac{π}{2} n \in Z}$
Soluciones en una vuelta, $[0, 2 π)$ :
${0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}}$

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