Inecuaciones de primer y segundo grado

Cómo resolver inecuaciones de primer grado, de segundo grado y racionales, con la solución en intervalos y en la recta. Ejercicios resueltos.

Una inecuación se resuelve casi como una ecuación, con una regla importante: si multiplicas o divides los dos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.

En las de segundo grado y las racionales se buscan los puntos donde la expresión vale cero, se divide la recta en intervalos y se estudia el signo en cada uno. La solución se escribe como un intervalo o una unión de intervalos.

Fórmulas

Cambio de signo

Ejercicios resueltos

Intenta resolver cada ejercicio y después abre la solución. Todas las soluciones están hechas y comprobadas con el motor de Lyz Math.

1

Ejercicio 1

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  1. Inecuación a resolver:
  2. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
    ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar () o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
  3. Es una inecuación lineal de la forma , con y .
    ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como y tiene una única solución, (si ).
  4. Sumamos en ambos lados:
    ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
  5. Dividimos ambos lados entre (positivo, la desigualdad se mantiene):
    ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
  6. Solución:
2

Ejercicio 2

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  1. Inecuación a resolver:
  2. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
    ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar () o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
  3. Es una inecuación lineal de la forma , con y .
    ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como y tiene una única solución, (si ).
  4. Sumamos en ambos lados:
    ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
  5. Dividimos entre . Como es un número negativo, la desigualdad cambia de sentido:
    ¿Por qué? Multiplicar o dividir por un número negativo da la vuelta al orden de los números: , pero . Por eso, al dividir entre un negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.
  6. Solución:
3

Ejercicio 3

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  1. Inecuación a resolver:
  2. Factorizamos:
  3. Puntos críticos: donde el numerador vale 0:
    ¿Por qué? Una expresión solo puede cambiar de signo donde vale 0 o donde no existe (denominador 0). Entre dos de esos puntos críticos el signo es siempre el mismo, así que basta con probar un valor en cada tramo.
  4. Estudiamos el signo en cada intervalo con un valor de prueba:
  5. Nos quedamos con los intervalos donde la expresión es positiva.
  6. Solución:
4

Ejercicio 4

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  1. Inecuación a resolver:
  2. Factorizamos:
  3. Puntos críticos: donde el numerador vale 0:
    ¿Por qué? Una expresión solo puede cambiar de signo donde vale 0 o donde no existe (denominador 0). Entre dos de esos puntos críticos el signo es siempre el mismo, así que basta con probar un valor en cada tramo.
  4. Estudiamos el signo en cada intervalo con un valor de prueba:
  5. Nos quedamos con los intervalos donde la expresión es negativa y, como la desigualdad no es estricta, también los puntos donde vale 0.
  6. Solución:
5

Ejercicio 5

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  1. Inecuación a resolver:
  2. Puntos críticos: donde el numerador vale 0 o el denominador vale 0 (esos nunca entran en la solución):
    ¿Por qué? Una expresión solo puede cambiar de signo donde vale 0 o donde no existe (denominador 0). Entre dos de esos puntos críticos el signo es siempre el mismo, así que basta con probar un valor en cada tramo.
  3. Estudiamos el signo en cada intervalo con un valor de prueba:
  4. Nos quedamos con los intervalos donde la expresión es negativa y, como la desigualdad no es estricta, también los puntos donde vale 0.
  5. Solución:
6

Ejercicio 6

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  1. Es una inecuación doble: se cumplen las dos desigualdades a la vez.
    ¿Por qué? Una desigualdad doble pide que se cumplan las dos a la vez: la solución son los valores que están en las dos soluciones, es decir, su intersección.
  2. Primera desigualdad
  3. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
    ¿Por qué? Con todo en un lado e igualado a cero se puede usar la forma estándar () o factorizar y aplicar que un producto es cero solo si un factor es cero.
  4. Es una inecuación lineal de la forma , con y .
    ¿Por qué? Si la incógnita solo aparece elevada a 1 (sin cuadrados, raíces ni denominadores), la ecuación es lineal: siempre se puede escribir como y tiene una única solución, (si ).
  5. Sumamos en ambos lados:
    ¿Por qué? Una ecuación es como una balanza en equilibrio: si haces lo mismo en los dos lados, sigue equilibrada. Sumar o restar el mismo número en ambos lados sirve para quitar un término de un lado; por eso se dice que «pasa al otro lado cambiando de signo».
  6. Dividimos entre . Como es un número negativo, la desigualdad cambia de sentido:
    ¿Por qué? Multiplicar o dividir por un número negativo da la vuelta al orden de los números: , pero . Por eso, al dividir entre un negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido.
  7. Segunda desigualdad
  8. Pasamos todos los términos al lado izquierdo:
  9. Es una inecuación lineal de la forma , con y .
  10. Sumamos en ambos lados:
  11. Dividimos ambos lados entre (positivo, la desigualdad se mantiene):
    ¿Por qué? Dividir los dos lados entre el mismo número (distinto de cero) mantiene la igualdad. Así se quita el número que multiplica a la incógnita: lo que multiplica «pasa dividiendo».
  12. Juntamos las dos: nos quedamos con lo que cumplen ambas (la intersección).
  13. Solución:

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